הוספת מים חמים למיחם בשבת

האם מותר להוסיף מים חמים למיחם בו נגמרו המים בשבת - המים רותחים והם מובאים ממיחם בבית סמוך, בתוך סיר מכוסה?

זה בעיה, מכיון שמיחם הינו כמו סיר שעומד על האש ממש. כיון שיש למטה גוף חימום זה נחשב ככלי ראשון שעומד על האש. ובכלי ראשון לכל השיטות אסור להוסיף אפילו שמכניסים מים חמים ממש.